大家好，我是小五，我来为大家解答以上问题。欧拉定理几何，欧拉定理很多人还不知道，现在让我们一起来看看吧！

1、定理内容　　在数论中，欧拉定理（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。

2、欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互素，(a,n) = 1，则 　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 证明　　首先证明下面这个命题： 　　对于集合Zn={x1,x2,...,xφ(n)},其中xi(i=1,2,…φ(n))是不大于n且与n互素的数，即n的一个化简剩余系，或称简系，或称缩系)，考虑集合S = {a*x1(mod n),a*x2(mod n),...,a*xφ(n)(mod n)} 　　则S = Zn 　　1) 由于a,n互质，xi也与n互质，则a*xi也一定于n互质，因此 　　任意xi，a*xi(mod n) 必然是Zn的一个元素 　　2) 对于Zn中两个元素xi和xj，如果xi ≠ xj 　　则a*xi(mod n) ≠ a*xj(mod n)，这个由a、n互质和消去律可以得出。

3、 　　所以，很明显，S=Zn 　　既然这样，那么 　　（a*x1 × a*x2×...×a*xφ(n)）(mod n) 　　= （a*x1(mod n) × a*x2(mod n) × ... × a*xφ(n)(mod n)）(mod n) 　　= （x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 　　考虑上面等式左边和右边 　　左边等于(a*（x1 × x2 × ... × xφ(n)）) (mod n) 　　右边等于x1 × x2 × ... × xφ(n)）(mod n) 　　而x1 × x2 × ... × xφ(n)(mod n)和n互质 　　根据消去律，可以从等式两边约去，就得到： 　　a^φ(n) ≡ 1 (mod n) 　　推论：对于互质的数a、n，满足a^(φ(n)+1) ≡ a (mod n) 　　费马定理: 　　a是不能被质数p整除的正整数，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p) 　　证明这个定理非常简单，由于φ(p) = p-1，代入欧拉定理即可证明。

4、 　　同样有推论：对于不能被质数p整除的正整数a，有a^p ≡ a (mod p) 编辑本段平面几何里的欧拉定理定理内容　　设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则d^2=R^2-2Rr． 证明　　O、I分别为⊿ABC的外心与内心． 　　连AI并延长交⊙O于点D，由AI平分ÐBAC，故D为弧BC的中点． 　　连DO并延长交⊙O于E，则DE为与BC垂直的⊙O的直径． 　　由圆幂定理知，R2-d2=(R+d)(R-d)=IA·ID．（作直线OI与⊙O交于两点，即可用证明） 　　但DB=DI（可连BI，证明ÐDBI=ÐDIB得）， 　　故只需证2Rr=IA·DB，即2R∶DB=IA∶r 即可． 　　而这个比例式可由⊿AFI∽⊿EBD证得．故得R2-d2=2Rr，即证． 编辑本段拓扑学里的欧拉公式　　V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。

5、　 　　如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。

6、　 　　X(P)叫做P的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。

7、 编辑本段经济学中的“欧拉定理”　　在西方经济学里，产量和生产要素L、K的关系表述为Q＝Q(L，K)，如果具体的函数形式是一次齐次的，那么就有：Q＝L(ðQ/ðL)＋K(ðQ/ðK)，换句话说，产品分配净尽取决于Q能否表示为一个一次齐次函数形式。

8、 　　因为ðQ/ðL＝MPL＝w/P被视为劳动对产量的贡献，ðQ/ðK＝MPK＝r/P被视为资本对产量的贡献，因此，此式被解释为“产品分配净尽定理”，也就是所有产品都被所有的要素恰好分配完而没有剩余。

9、因为形式上符合数学欧拉定理，所以称为欧拉定理。

10、 　　【同余理论中的"欧拉定理"】 　　设a,m∈N,(a,m)=1,则a^(f(m))≡1(mod m) 　　(注:f(m)指模m的简系个数) 编辑本段复变函数论里的欧拉公式定理内容　　e^ix=cosx+isinx 　　e是自然对数的底，i是虚数单位。

11、 　　它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。

12、 　　将公式里的x换成-x，得到： 　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到： 　　sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2. 　　这两个也叫做欧拉公式。

13、 “上帝创造的公式”　　将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： 　　e^iπ+1=0. 　　这个等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。

14、数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。

15、 编辑本段意义　　（1）数学规律：公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律 　　（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形（立体图→平面拉开图）。

16、 　　（3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。

17、 　　定理引导我们进入一个新几何学领域：拓扑学。

18、我们用一种可随意变形但不得撕破或粘连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中的不变的性质。

19、 　　（4）提出多面体分类方法： 　　在欧拉公式中， f (p)=V+F-E 叫做欧拉示性数。

20、欧拉定理告诉我们，简单多面体f (p)=2。

21、 　　除简单多面体外，还有非简单多面体。

22、例如，将长方体挖去一个洞，连结底面相应顶点得到的多面体。

23、它的表面不能经过连续变形变为一个球面，而能变为一个环面。

24、其欧拉示性数f (p)=16+16-32=0，即带一个洞的多面体的欧拉示性数为0。

25、 　　（5）利用欧拉定理可解决一些实际问题 　　如：为什么正多面体只有5种？ 足球与C60的关系？否有棱数为7的正多面体？等 编辑本段V+F-E=2的证明方法1：（利用几何画板）　　逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 　　先以简单的四面体ABCD为例分析证法。

26、 　　去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数E与剩下的面数F1变形后都没有变。

27、因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 　　（1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。

28、依次去掉所有的面，变为“树枝形”。

29、 　　（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。

30、 　　以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。

31、 　　对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。

32、因此公式对任意简单多面体都是正确的。

33、 方法2：计算多面体各面内角和　　设多面体顶点数V，面数F，棱数E。

34、剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和Σα 　　一方面，在原图中利用各面求内角总和。

35、 　　设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： 　　Σα = [(n1-2)·180度+(n2-2)·180度+…+(nF-2) ·180度] 　　= (n1+n2+…+nF -2F) ·180度 　　=(2E-2F) ·180度 = (E-F) ·360度 （1） 　　另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。

36、 　　设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180角，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。

37、中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360度，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180度。

38、 　　所以，多面体各面的内角总和： 　　Σα = (V-n)·360度+(n-2)·180度+(n-2)·180度 　　=（V-2）·360度（2） 　　由(1)(2)得： (E-F) ·360度=（V-2）·360度 　　所以 V+F-E=2. 方法3 用拓扑学方法证明欧拉公式　　   

图。

本文到此讲解完毕了，希望对大家有帮助。